(************** Content-type: application/mathematica ************** CreatedBy='Mathematica 4.2' Mathematica-Compatible Notebook This notebook can be used with any Mathematica-compatible application, such as Mathematica, MathReader or Publicon. The data for the notebook starts with the line containing stars above. To get the notebook into a Mathematica-compatible application, do one of the following: * Save the data starting with the line of stars above into a file with a name ending in .nb, then open the file inside the application; * Copy the data starting with the line of stars above to the clipboard, then use the Paste menu command inside the application. Data for notebooks contains only printable 7-bit ASCII and can be sent directly in email or through ftp in text mode. Newlines can be CR, LF or CRLF (Unix, Macintosh or MS-DOS style). NOTE: If you modify the data for this notebook not in a Mathematica- compatible application, you must delete the line below containing the word CacheID, otherwise Mathematica-compatible applications may try to use invalid cache data. For more information on notebooks and Mathematica-compatible applications, contact Wolfram Research: web: http://www.wolfram.com email: info@wolfram.com phone: +1-217-398-0700 (U.S.) Notebook reader applications are available free of charge from Wolfram Research. *******************************************************************) (*CacheID: 232*) (*NotebookFileLineBreakTest NotebookFileLineBreakTest*) (*NotebookOptionsPosition[ 1793887, 28317]*) (*NotebookOutlinePosition[ 1794594, 28341]*) (* CellTagsIndexPosition[ 1794550, 28337]*) (*WindowFrame->Normal*) Notebook[{ Cell[CellGroupData[{ Cell["Patterns in Polynomials", "Title"], Cell[BoxData[{ \(Sherry\ Nolan\), "\[IndentingNewLine]", \(Student, \ UMass\ Lowell\), "\[IndentingNewLine]", \(copyright\ 2003\), "\[IndentingNewLine]", \(sherryn@alumni . hamilton . edu\)}], "Input", CellFrame->{{0, 0}, {2, 0}}], Cell[CellGroupData[{ Cell["Warm-up Problems for Patterns in Polynomials", "Section"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["1. For each value of y below, identify whether it is \ a polynomial in the indicated value of x. ", FontWeight->"Bold"]], "Subsection"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["a. y = ", FontWeight->"Bold"], Cell[BoxData[ \(t\^2\)], FontWeight->"Bold"], StyleBox[" - 4 and x = t + 1", FontWeight->"Bold"] }], "Subsubsection"], Cell[BoxData[{ \(y\ = \ \(t\^2 - \ 4\ = \ \((t\ - \ 2)\) \((t\ + \ 2)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ factor\ the\ original\ equation\)\), "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(\((\((t\ + \ \ 1)\)\ - \ 3)\) \((\((t\ + \ 1)\)\ + \ 1)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ put\ factors\ into\ terms\ of\ t\ + \ 1\)\)\), "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(\((t + \ 1)\)\^2\ + \ \((t\ + \ 1)\)\ - \ 3 \((t\ + \ 1)\)\ - \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ use\ \ distributive\ property\ to\ multiply\ binomials\)\)\), \ "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(\((t\ + \ 1)\)\^\(\(2\)\(\ \)\) - \ 2 \((t\ + \ 1)\)\ - \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ simplify\)\)\), "\[IndentingNewLine]", \ \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(\(=\)\(\ \ \)\(x\^2\ - \ \ 2 x\ - \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ substitute\ x\ in\ for\ t\ + \ 1\)\)\(\[IndentingNewLine]\) \)\), "\[IndentingNewLine]", \(Yes, \ it\ is\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ \(\(x\)\(.\)\)\)}], \ "Text"], Cell["Using Mathematica we can do this another way:", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(Expand[ReplaceAll[t\^2 - \ 4, \ t \[Rule] \ x\ + \ 1]]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(\(-3\) + 2\ x + x\^2\)], "Output"] }, Open ]], Cell["So yes, it is a polynomial in the indicated value of x.", "Text"] }, Closed]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ StyleBox[\(b . \ \ y\ = \ \(8\^\(t + 2\)\ + \ 4\^\(\(t\)\(+\)\(1\)\(\ \)\) + \ 2\^t\ + \ 1\ \ and\ x\ = \ 2\^t\)\), FontWeight->"Bold"]], "Subsubsection"], Cell[BoxData[{ \(y\ = \ 8\^\(t + 2\)\ + \ 4\^\(\(t\)\(+\)\(1\)\(\ \)\) + \ 2\^t\ + \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ original\ equation\), "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(\(\((2\^3)\)\^t\) 8\^2\ + \ \(\((2\^2)\)\^t\) 4\^1\ + \ 2\^t + \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ put\ \ components\ into\ terms\ of\ 2\^t\)\)\), "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \(\(=\)\(\ \ \)\(64 \((2\^t)\)\^3\ + \ 4 \((2\^t)\)\^2\ + \ 2\^t + \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ expand\ and\ \ simplify\ terms\ not\ in\ the\ form\ of\ 2\^t\)\)\), "\[IndentingNewLine]", \(\ \ \ \ \(\(\(=\)\(\ \ \)\(64 x\^3\ + \ 4 x\^2 + \ x\ + \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ substitute\ x\ in\ for\ 2\^t\)\)\(\[IndentingNewLine]\) \)\), "\[IndentingNewLine]", \(Yes, \ it\ is\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ x . \ \[IndentingNewLine]\[IndentingNewLine]Using\ Mathematica\ we\ can\ do\ this\ \ another\ \(\(way\)\(:\)\)\)}], "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(Apart[ ReplaceAll[\ 8\^\(t + 2\)\ + \ 4\^\(\(t\)\(+\)\(1\)\(\ \)\) + \ 2\^t\ + \ 1\ , \ t\ \[Rule] \ Log[2, \ x]] // \ N, \ 2\^t]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(1.`\ \((\(\(1.`\)\(\[InvisibleSpace]\)\) + 1.`\ x + 4.`\ x\^2.` + 64.`\ x\^2.9999999999999996`)\)\)], "Output"] }, Open ]], Cell["Yes, it is a polynomial in the indicated value of x.", "Text"] }, Closed]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ StyleBox[\(c . \ y\ = \ \(3\^t\ + \ 2\^t\ and\ x\ = \ 2\^t\)\), FontWeight->"Bold"]], "Subsubsection"], Cell[BoxData[ \(\(\(\[IndentingNewLine]\)\(y\ = \ 3\^t\ + \ 2\^t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ original\ equation\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(3\^\(\(log\_2\) x\)\ + \ 2\^\(\(log\_2\) x\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ since\ x\ = \ \ \(2\^t\ \ we\ can\ say\ t\ = \ \(log\_2\) x\)\)\), \ so\ substitute\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(\((2\^\(\(log\_2\) 3\))\)\^\(\(log\_2\) x\)\ + \ \ \ 2\^\(\(log\_2\) x\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ put\ the\ first\ term\ into\ the\ form\ of\ 2\^t\)\), \ \ thus\ 3\ = \ 2\^\(\(log\_2\) 3\)\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(x\^\(\(log\_2\) 3\) + \ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ substitute\ x\ in\ for\ \ 2\^t\)\)\[IndentingNewLine]\[IndentingNewLine] No, \ it\ is\ not\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ x, \ because\ \(log\_2\) 3\ is\ not\ a\ positive\ integer . \[IndentingNewLine]\ \[IndentingNewLine]Using\ Mathematica\ we\ can\ do\ this\ another\ \ \(\(way\)\(:\)\)\)\)\)], "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(Apart[ReplaceAll[3\^t\ + \ 2\^t, \ t \[Rule] \ Log[2, \ x]] // N, \ 2\^t]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(x + x\^1.5849625007211563`\)], "Output"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(No, \ it\ is\ not\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ x, \ because\ x\^1.5849625007211563`\ is\ not\ a\ positive\ \(\(integer\)\(.\)\ \)\)], "Text"] }, Closed]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["d. y = cos2\[Theta] and x = cos\[Theta]", FontWeight->"Bold"]], "Subsubsection"], Cell[BoxData[ \(\(\(\[IndentingNewLine]\)\(y\ = \ cos2\[Theta]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ original\ equation\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(2 \( cos\^2\) \[Theta]\ - \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ double\ angle\ formula\ \ \((cos\ 2 x\ = \ 2 \( cos\^2\) \[Theta]\ - \ 1)\)\)\)\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \ \)\(2 x\^2\ - \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ substitute\ x\ in\ for\ cos\ \[Theta]\)\)\[IndentingNewLine]\ \[IndentingNewLine] Yes, \ it\ is\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ x . \ \[IndentingNewLine]\[IndentingNewLine]Using\ Mathematica\ we\ can\ do\ this\ \ another\ \(\(way\)\(:\)\)\)\)\)], "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(ReplaceAll[TrigExpand[Cos[2\ \[Theta]]], \ Sin[\[Theta]]\^2\ \[Rule] \ 1\ - \ Cos[\[Theta]]\^2]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(\(-1\) + 2\ Cos[\[Theta]]\^2\)], "Output"] }, Open ]], Cell["Yes, it is a polynomial in the indicated value of x.", "Text"] }, Closed]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["e. y = sin2\[Theta] and x = sin\[Theta]", FontWeight->"Bold"]], "Subsubsection"], Cell[BoxData[ \(\(\(\[IndentingNewLine]\)\(y\ = \ sin2\[Theta]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ original\ equation\[IndentingNewLine] \ \ \ \ \(\(=\)\(\ \)\(2 sin\ \[Theta]\ cos\ \[Theta]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ double\ angle\ formula\ \((sin\ 2 x\ = \ 2 sin\ \[Theta]\ cos\ \[Theta])\)\)\)\[IndentingNewLine]\ \ \ \[IndentingNewLine] No, \ it\ is\ not\ a\ polynomial\ in\ the\ indicated\ value\ of\ x, \ because\ there\ is\ no\ way\ to\ eliminate\ the\ cosine\ factor\ and\ \ keep\ the\ expression\ a\ polynomial\ in\ sin\ \[Theta] . \[IndentingNewLine]\ \[IndentingNewLine]Using\ Mathematica\ we\ can\ do\ this\ another\ \ \(\(way\)\(:\)\)\)\)\)], "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(ReplaceAll[TrigExpand[Sin[2\ \[Theta]]], \ Cos[\[Theta]]\^2 \[Rule] \ 1\ - \ Sin[\[Theta]]\^2]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(2\ Cos[\[Theta]]\ Sin[\[Theta]]\)], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ No, it is not a polynomial in the indicated value of x, because there is no \ way to eliminate the cosine factor to keep the expression a polynomial in sin \ \[Theta].\ \>", "Text"] }, Closed]] }, Closed]], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ 2. For each figure, find the indicated lengths in terms of the trigonometric \ functions of \[Alpha] and \[Beta].\ \>", "Subsection", FontWeight->"Bold"], Cell[CellGroupData[{ Cell["a. Find x.", "Subsubsection", FontWeight->"Bold"], Cell[BoxData[ \(\(image\ = \ Import["\"];\)\)], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(Show[image]\)], "Input"], Cell[GraphicsData["PostScript", "\<\ %! %%Creator: Mathematica %%AspectRatio: .51057 %%ImageSize: 616 315 MathPictureStart /Mabs { Mgmatrix idtransform Mtmatrix dtransform } bind def /Mabsadd { Mabs 3 -1 roll add 3 1 roll add exch } bind def %% Graphics %%IncludeResource: font Courier %%IncludeFont: Courier /Courier findfont 10 scalefont setfont % Scaling calculations 4.33681e-019 0.00162602 -0.00162602 0.00162602 [ [ 0 0 0 0 ] [ 1 .51057 0 0 ] ] MathScale % Start of Graphics 1 setlinecap 1 setlinejoin newpath 0 0 m 1 0 L 1 .51057 L 0 .51057 L closepath clip newpath % Start of gray image p 0 -0.00163 translate 1.00163 .5122 scale 616 string 616 315 8 [616 0 0 315 0 0] { \tcurrentfile \t1 index \treadhexstring \tpop } Mimage FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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